COSAS DE EULER

Bueno, aparcamos de momento a nuestro amigo Faraday para tratar algo que me han pedido específicamente: los pasatiempos (no, no estoy de coña, prometo que va en serio...).

Pero calma, esto sigue siendo un espacio sobre la ciencia (bueno, más o menos) y vamos a centrarnos en la base matemática de algunos de ellos. Empecemos imaginando un sencillo ejercicio con naipes:

Se toman de una baraja sólo las figuras (Sota, Caballo, Rey y As); se trata de colocarlas en un cuadro de forma que en cada fila, columna y diagonal haya sólo una carta de cada valor y sólo una de cada palo. Este solitario fue popular hace un par de siglos. Sin tener en cuenta las diagonales, hay varias soluciones y son fáciles de encontrar, vale la pena intentarlo un poco. Con la limitación de las diagonales resulta más interesante.

Con baraja de póker hay una curiosa variante: considerando sólo las filas y las columnas, hacer que los colores formen un damero rojo-negro, como esta solución:

A©	K§	J¨	Aª
J§	A©	Qª	K¨
A¨	Jª	K©	Q§
Kª	Q¨	A§	J©

La disposición para las soluciones de estos solitarios se basa en los cuadrados latinos, llamados así porque Euler, el gran matemático que los estudió, acostumbraba a emplear las letras del alfabeto latino para nombrar las casillas. Así:

a	b	c
c	a	b
b	c	a

Este es un ejemplo de cuadrado latino de lado 3, en el que cada letra (a, b, c) aparece sólo una vez en cada fila y en cada columna.

A	B	C
B	C	A
C	A	B

En este otro cuadrado 3x3 se han empleado letras mayúsculas, y tiene una particularidad: si se superpone al anterior, cada letra minúscula se asocia una sola vez con cada mayúscula, y queda así:

aA	bB	cC
cB	aC	bA
bC	cA	aB

Un cuadrado construido de esta forma recibe el nombre de cuadrado grecolatino, y se construye combinando dos cuadrados latinos que son "ortogonales" entre sí. Su nombre deriva de la utilización del alfabeto griego en el segundo cuadrado (Yo he usado mayúsculas por comodidad), lo que atribuye a cada casilla del cuadro una combinación de una letra latina y una griega.

Las soluciones al solitario son cuadrados mágicos de orden 4, en el que las letras latinas y griegas representarían el valor y el palo.

Desde el punto de vista puramente matemático, un cuadrado grecolatino de lado 'n' se puede construir siempre que 'n' sea impar, o bien "par de clase par" (o sea, múltiplo de 4). Para los pares de clase impar (del tipo n = 4k + 2, donde k es un número natural), resulta obvio que no puede construirse el de orden 2, y cuando Euler no fue capaz de encontar uno de orden 6, postuló que era imposible la construcción de estas estructuras para pares de clase impar.

Más tarde se demostró que no existía el cuadrado de orden 6, pero con la aparición de potentes computadoras: ¡Voilà!

En 1959 se encontró un cuadrado grecolatino de 10 x 10, y se extendió para n=14, 18, 22 y sucesivos pares de clase impar. Solo los órdenes 2 y 6 son irresolubles.

La actualidad ha vuelto a poner de moda los cuadrados grecolatinos por el sudoku, un juego que consiste en realidad en formar un cuadrado latino de 9×9, formado a su vez por 9 subcuadrados de 3×3, cada uno de los cuales contiene una vez y sólo una las cifras del 1 al 9. El más famoso de estos cuadrados es el “cuadrado mágico” clásico, en el que además, filas, columnas y diagonales suman siempre 15:

8 1 6

3 5 7

4 9 2

Es el único cuadrado con esa propiedad, aunque puede ser visto de 8 formas distintas.
Así pues, si combinando 2 sudokus simples obtenemos otro cuadrado que mantiene la estructura original, habremos encontrado un cuadrado grecolatino nosotros solitos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sudoku (descripción en Wikipedia)

http://www.websudoku.com

http://www.sudoku.com/ (es de pago)

http://sudoku.3ontech.com/en/ (programa que procede por prueba y error)

http://www.programas-gratis.net/php/programa2.php?id_programa=3938 (sólo para jugar)

http://sudoku-jes.softonic.com/ie/42339 (íd)